The value of integral $\int\limits^{1}_{0}\sqrt{1-x^2}dx$ is :

$\frac{\pi}{4}$

The correct answer is Option (3) → $\frac{\pi}{4}$

$I=\int\limits^{1}_{0}\sqrt{1-x^2}dx$

let $x=\sin θ$

$dx=\cos θdθ$

$x → 0, θ → 0$

$x → 1, θ → \frac{π}{2}$

$I=\int\limits^{\frac{π}{2}}_{0}\sqrt{1-\sin^2θ}\cos θdθ$

$=\int\limits^{\frac{π}{2}}_{0}\cos^2θdθ=\int\limits^{\frac{π}{2}}_{0}\frac{\cos 2θ}{2}+\frac{1}{2}dθ$

$=\left[\frac{\sin 2θ}{4}+\frac{θ}{2}\right]^{\frac{π}{2}}_{0}=\frac{\pi}{4}$