If a + b = 1, then find a⁴ + b⁴ - a³ - b³ - 2a²b² +ab

0

⇒ a⁴ + b⁴ - a³ - b³ - 2a²b² +ab

⇒ a⁴  - a³ + b⁴ - b³ - ab(2ab - 1)

⇒a³ (a - 1) + b³ (b - 1) - ab(2ab - 1)

⇒a³ (-b) + b³ (-a) - ab(2ab - 1)                           (a + b = 1 given)

⇒ -ab { a² + b²  + 2ab - 1}

⇒ -ab { (a + b)² - 1}

⇒ -ab { (1)² - 1} ⇒ -ab { 1 - 1} ⇒ -ab {0} = 0

Alternate:

We have one eq. and two variables, so put b = 0

If b = 0, then a = 1

So, a⁴ + 0 - a³ - 0 - 0 - 0

a⁴ - a³ = 1 - 1 = 0