If $x + y = 4$ and $x^3 + y^3 = 12$, then the value of $x^4 + y^4= ?$

$\frac{146}{9}$

x + y = 4

x³ + y³ = 12

We know that,

x² + y² = (x + y)² – 2xy

x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)

x⁴ + x⁴ = (x² + y²)² – 2x²y²

Now,

x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)

= 12 = 4 × (x² – xy + y²)

= x² + y² = 3 + xy

= (x + y)² – 2xy = 3 + xy

= 4² – 3 = 3xy
⇒ xy = \(\frac{16-3}{3}\) = \(\frac{13}{3}\)

x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² – 2x²y²

= (3 + xy)² – 2 × (\(\frac{13}{3}\))²

= [3 + (\(\frac{13}{3}\))]² – 2 × (\(\frac{169}{9}\))

= [\(\frac{24}{9}\)]² – \(\frac{338}{9}\)

= \(\frac{484}{9}\)– \(\frac{338}{9}\)

= \(\frac{146}{9}\)