If $\int \frac{e^x-1}{e^x+1} d x=f(x)+C$, then $f(x)=$

$2 \log \left(e^x+1\right)-x+C$

We have,

$\int \frac{e^x-1}{e^x+1} d x$

$\Rightarrow \quad=\int \frac{e^x}{e^x+1} d x-\int \frac{1}{e^x+1} d x$

$ \Rightarrow \quad=\int \frac{1}{e^x+1} d\left(e^x+1\right)+\int \frac{1}{e^{-x}+1} d\left(e^{-x}+1\right)$ $

$\Rightarrow \quad=\log \left(e^x+1\right)+\log \left(e^{-x}+1\right)+C$

$\Rightarrow \quad=\log \left(e^x+1\right)+\log \left(\frac{e^x+1}{e^x}\right)+C$ 

$\Rightarrow \quad=\log \left(e^x+1\right)^2-\log e^x+C=2 \log \left(e^x+1\right)-x+C$