The integral $\int\limits_0^\pi \sqrt{1+4 \sin ^2 \frac{x}{2}-4 \sin \frac{x}{2}} d x$ equals 

$4 \sqrt{3}-4-\frac{\pi}{3}$

Let $I=\int\limits_0^\pi \sqrt{1+4 \sin ^2 \frac{x}{2}-4 \sin \frac{x}{2}} d x$. Then,

$I=\int\limits_0^\pi \sqrt{\left(1-2 \sin \frac{x}{2}\right)^2} d x$

$\Rightarrow I=\int\limits_0^\pi\left|1-2 \sin \frac{x}{2}\right| d x$            $\left[∵ \sqrt{x^2}=|x|\right]$

$\Rightarrow I=\int\limits_0^{\pi / 3}\left|1-2 \sin \frac{x}{2}\right| d x+\int\limits_{\pi / 3}^\pi\left|1-2 \sin \frac{x}{2}\right| d x$

$\Rightarrow I=\int\limits_0^{\pi / 3}\left(1-2 \sin \frac{x}{2}\right) d x+\int\limits_{\pi / 3}^\pi\left(2 \sin \frac{x}{2}-1\right) d x$

$\Rightarrow I=\left[x+4 \cos \frac{x}{2}\right]_0^{\pi / 3}+\left[-4 \cos \frac{x}{2}-x\right]_{\pi / 3}^\pi$

$\Rightarrow I=\left(\frac{\pi}{3}+4 \cos \frac{\pi}{6}-4\right)+\left(0-\pi+4 \cos \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$

$\Rightarrow I=-\frac{\pi}{3}+4 \sqrt{3}-4$