For θ : 0° < θ < 90°

$3 sec θ + 4 cos θ = 4 \sqrt{3}$, find the value of ( 1 - sin θ + cos θ)

$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

3secθ + 4 cosθ = 4√3

3( \(\frac{1}{cosθ}\)) + 4 cosθ = 4√3

3 + 4 cos²θ = 4√3 cosθ 

4 cos²θ - 4√3 cosθ + 3 = 0

4 cos²θ - 2√3 cosθ - 2√3 cosθ + 3 = 0

2 cosθ( 2cosθ - √3 ) - √3( 2cosθ - √3 ) = 0

( 2cosθ - √3 ). ( 2cosθ - √3 )  = 0

2cosθ - √3 = 0

cosθ = \(\frac{√3}{2}\)

{ cos 30º = \(\frac{√3}{2}\) }

Now,

1 - sinθ + cosθ

= 1 - sin30º + cos30º

= 1 - \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{√3}{2}\)

= \(\frac{1 + √3}{2}\)