If $\int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} d x=m \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)^n+C$, then

$m=1 / n$

We have,

$I=\int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} d x=\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\left(a^{3 / 2}\right)^2-\left(x^{3 / 2}\right)^2}} d x$

$\Rightarrow I=\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{\left(a^{3 / 2}\right)^2-\left(x^{3 / 2}\right)^2}} d\left(x^{3 / 2}\right)$

$\Rightarrow I=\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)^{3 / 2}+C$

∴  $m=\frac{2}{3}$ and $n=\frac{3}{2} \Rightarrow m=\frac{1}{n}$