If $\vec a,\vec b,\vec c$ are non-coplanar vectors, then $\frac{\vec a.(\vec b×\vec c)}{\vec b.(\vec c×\vec a)}+\frac{\vec b.(\vec c×\vec a)}{\vec c.(\vec a×\vec b)}+\frac{\vec c.(\vec a×\vec b)}{\vec a.(\vec b×\vec c)}$ is equal to:

1

$[\vec a\,\vec b\,\vec c]=[\vec b\,\vec c\,\vec a]=[\vec c\,\vec a\,\vec b]$ 

$∴\frac{[\vec a\,\vec b\,\vec c]}{[\vec b\,\vec c\,\vec a]}+\frac{[\vec b\,\vec c\,\vec a]}{[\vec c\,\vec a\,\vec b]}+\frac{[\vec c\,\vec a\,\vec b]}{[\vec a\,\vec b\,\vec c]}=1+1-\frac{[\vec a\,\vec b\,\vec c]}{[\vec a\,\vec b\,\vec c]}=2-1=1$