Practicing Success
If $\int\frac{xe^x}{\sqrt{1+e^x}}dx=f(x)\sqrt{1+e^x}-2\log g(x)+C$, then: |
$f(x)=x-2,g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x+1}}$ $f(x)=2(x-2),g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$ $f(x)=x-2,g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}+1}{\sqrt{1+e^x}-1}$ $f(x)=2(x-2),g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}+1}{\sqrt{1+e^x}-1}$ |
$f(x)=2(x-2),g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$ |
Let $I=\int x\frac{e^x}{\sqrt{1+e^x}}dx$ Putting $1+e^x=t^2$ i.e. $x = \log(t^2-1)$, we get: $I=2\int\log(t^2-1)dt=2[t\log(t^2-1)-2\int\frac{t^2}{t^2-1}dt]=2[t\log(t^2-1)-2\int\{1+(\frac{1}{t^2-1})\}dt]$ $=2[t\log(t^2-1)-2t-\log(\frac{t-1}{t+1})]+C=2x\sqrt{1+e^x}-4\sqrt{1-e^x}-2\log(\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1})+C$ Hence, $f(x)=2x-4=2(x-2)$ and $g(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$ |