If $\vec a,\vec b,\vec c$ are vectors such that $|\vec b|=|\vec c|$, then $\{(\vec a+\vec b) × (\vec a+\vec c)\}×(\vec b × \vec c).(\vec b+\vec c)=$

0

We have,

$\{(\vec a+\vec b) × (\vec a+\vec c)\}×(\vec b × \vec c).(\vec b+\vec c)$

$=(\vec a×\vec c+\vec b×\vec a+\vec b×\vec c)×(\vec b × \vec c).(\vec b+\vec c)$

$=\{(\vec a×\vec c)×(\vec b×\vec c)+(\vec b × \vec a)×(\vec b × \vec c)\}.(\vec b+\vec c)$

$=\left[\{(\vec a×\vec c).\vec c\}\vec b-\{(\vec a×\vec c).\vec b\}\vec c+\{(\vec b×\vec a).\vec c\}\vec b-\{(\vec b×\vec a).\vec b\}\vec c\right].(\vec b+\vec c)$

$=\left\{-[\vec a\,\,\vec c\,\,\vec b]\vec c+[\vec b\,\,\vec a\,\,\vec c]\vec b\right\}.(\vec b+\vec c)$

$=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\{\vec c.(\vec b+\vec c)\}-[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\{\vec b.(\vec b+\vec c)\}$

$=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c][\vec c.\vec b+\vec c.\vec c-\vec b.\vec b-\vec b.\vec c]$

$=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\left\{|\vec c|^2-|\vec b|^2\right\}=0$  $[∵|\vec b|=|\vec c|]$