The vectors $\vec a$ and $\vec b$ are not perpendicular and $\vec c$ and $\vec d$ are two vectors satisfying: $\vec b×\vec c =\vec b×\vec d$ and $\vec a.\vec d = 0$. Then, the vector $\vec d$ is equal to

$\vec c-\left(\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}\right)\vec b$

We have,

$\vec b×\vec c =\vec b×\vec d$

$⇒\vec b×(\vec c-\vec d)=\vec 0$

$⇒\vec b||\vec c-\vec d$

$⇒\vec c-\vec d=λ\vec b$

$⇒\vec d=\vec c-λ\vec b$

$∴\vec a.\vec d=0$

$⇒\vec a(\vec c-λ\vec b)=0$

$⇒\vec a.\vec c-λ(\vec a.\vec b)=0⇒λ=\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}$

Hence, $\vec d=\vec c-\left(\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}\right)\vec b$