If $x = cosecA + cos A$ and $y = cosecA - cosA$, then find the value of $(\frac{2}{x+y})^2 + (\frac{x-y}{2})^2 - 1 $.

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Given :-

x = cosecA + cosA    and    y = cosecA - cosA

x + y = 2 cosecA

x - y = 2 cosA

Now,

(\(\frac{2 }{x+y}\))² + (\(\frac{x-y }{2}\))² - 1

= (\(\frac{2 }{2cosecA}\))² + (\(\frac{2cosA }{2}\))² - 1

= (sinA)² + (cosA)² - 1

= sin²A + cos²A - 1

= 1 - 1    { sin²A + cos²A = 1 }

= 0