$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{r=2 n+1}^{3 n} \frac{n}{r^2-n^2}$ is equal to

$\ln \sqrt{\frac{3}{2}}$

We have,

$S=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{r=2 n+1}^{3 n} \frac{n}{r^2-n^2}$

$\Rightarrow S=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{r=2 n+1}^{3 n} \frac{1}{\left(\frac{r}{n}\right)^2-1} . \frac{1}{n}$

$\Rightarrow S=\int\limits_2^3 \frac{1}{x^2-1} d x=\frac{1}{2}\left[\log _e\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_2^3$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left[\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{3}\right]=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{3}{2}\right)=\ln \sqrt{\frac{3}{2}}$