If a, b, c are non zero complex numbers satisfying $a^2+b^2+c^2 = 0$ and $\begin{vmatrix}b^2 + c^2&ab& ac\\ab&c^2 + a^2&bc\\ac&bc&a^2 + b^2\end{vmatrix}=k\, a^2\, b^2\, c^2$, then k is equal to

4

Let $Δ=\begin{vmatrix}b^2 + c^2&ab& ac\\ab&c^2 + a^2&bc\\ac&bc&a^2 + b^2\end{vmatrix}$

Applying $R_1→ R_1 (a), R_1→R_2 (b)$ and $R_3 → R_3 (c)$, we get

$Δ=\frac{1}{abc}=\begin{vmatrix}a(b^2 + c^2)&a^2b& a^2c\\ab^2&b(c^2 + a^2)&b^2c\\ac^2&bc^2&c(a^2 + b^2)\end{vmatrix}$

Taking a, b and c common from $C_1, C_2$ and $C_3$ respectively, we get

$Δ=\frac{abc}{abc}=\begin{vmatrix}b^2 + c^2&a^2& a^2\\b^2&c^2 + a^2&b^2\\c^2&c^2&a^2 + b^2\end{vmatrix}$

$⇒Δ=\begin{vmatrix}2(b^2 + c^2) &2 (c^2 + a^2) &2 (a^2 +b^2)\\b^2&c^2+a^2&b^2\\c^2&c^2&a^2+b^2\end{vmatrix}$

$⇒Δ=2\begin{vmatrix}b^2 + c^2&c^2 + a^2&a^2 +b^2\\b^2&c^2+a^2&b^2\\c^2&c^2&a^2+b^2\end{vmatrix}$ [Taking 2 common from $R_1$]

Applying $R_2 → R_2 -R_1$ and $R_3 → R_3 - R_1$, we get

$Δ=2\begin{vmatrix}b^2 + c^2&c^2 + a^2&a^2 +b^2\\-c^2&0&-a^2\\-b^2&-a^2&0\end{vmatrix}$

$⇒Δ=2\begin{vmatrix}0&c^2&b^2\\-c^2&0&-a^2\\-b^2&-a^2&0\end{vmatrix}$ Applying $R_1 → R_1 + R_2 + R_3$

$⇒Δ=2\left\{0\begin{vmatrix}0&-a^2\\-a^2&0\end{vmatrix}-c^2\begin{vmatrix}-c^2&-a^2\\-b^2&0\end{vmatrix}+b^2\begin{vmatrix}-c^2&0\\-b^2&-a^2\end{vmatrix}\right\}$

$⇒Δ=2(a^2\, b^2\, c^2 + a^2\, b^2\, c^2)=4a^2\, b^2\, c^2$.