$\int\limits_0^{200 \pi} \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{2}} d x=$

0 100 200 400

400

$I=\int\limits_0^{200 \pi} \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{2}} d x=\int\limits_0^{200 \pi}|\sin x| d x$ $=200 \int\limits_0^\pi|\sin x| d x=200 \int\limits_0^\pi \sin x d x$ $=-200(\cos x)_0^\pi=-200(-1-1)=400$