∫limits_0^200 π √((1-cos 2 x)/2) d x=

$I=\int\limits_0^{200 \pi} \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{2}} d x=\int\limits_0^{200 \pi}|\sin x| d x$

$=200 \int\limits_0^\pi|\sin x| d x=200 \int\limits_0^\pi \sin x d x$

$=-200(\cos x)_0^\pi=-200(-1-1)=400$