If $\vec r = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$ such that $x+y+z≠0$ and $\vec r.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$, then $[\vec a\,\vec b\,\vec c]=$
Answer & explanation
Correct answer: option 2
We have,
$\vec r = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$
$∴\vec r.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$
$⇒\left\{x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)\right\}.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$
$⇒y[\vec b\,\vec c\,\vec a]+z[\vec c\,\vec a\,\vec b]+x[\vec a\,\vec b\,\vec c]=x+y+z$
$⇒(x+y+z)[\vec a\,\vec b\,\vec c]=x+y+z$
$⇒[\vec a\,\vec b\,\vec c]=1$