If $\vec r = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$ such that $x+y+z≠0$ and $\vec r.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$, then $[\vec a\,\vec b\,\vec c]=$

1

We have,

$\vec r = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$

$∴\vec r.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$

$⇒\left\{x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)\right\}.(\vec a+\vec b+\vec c)=x+y+z$

$⇒y[\vec b\,\vec c\,\vec a]+z[\vec c\,\vec a\,\vec b]+x[\vec a\,\vec b\,\vec c]=x+y+z$

$⇒(x+y+z)[\vec a\,\vec b\,\vec c]=x+y+z$

$⇒[\vec a\,\vec b\,\vec c]=1$