$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x=$

$x+\frac{1}{2} \log |4 \sin x+6 \cos x|+C$

Let

$\sin x+8 \cos x=K(4 \sin x+6 \cos x)+L(4 \cos x-6 \sin x)$

Then,

$1=4 K-6 L$ and $8=6 K+4 L \Rightarrow K=1, L=\frac{1}{2}$

∴  $I =\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x $

$\Rightarrow I =\int \frac{K(4 \sin x+6 \cos x)+L(4 \cos x-6 \sin x)}{4 \sin x+6 \cos x} d x$

$\Rightarrow I=K x+L \log |4 \sin x+6 \cos x|+C$

$\Rightarrow I=x+\frac{1}{2} \log |4 \sin x+6 \cos x|+C$