A solution of the vector equation $\vec r×\vec b =\vec a×\vec b$, where $\vec a,\vec b$ are two given vectors, is where λ is a parameter.

$\vec r=\vec a+λ\vec b$

We have,

$\vec r×\vec b =\vec a×\vec b$

$⇒\vec r×\vec b -\vec a×\vec b=\vec 0$

$⇒(\vec r-\vec a)×\vec b=\vec 0$

$⇒\vec r-\vec a$ is parallel to $\vec b$

$⇒\vec r-\vec a=λ\vec b$ for some scalar λ

$⇒\vec r=\vec a+λ\vec b$ is the required solution.