If $\int\limits_0^\pi x f(\sin x) d x=A \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x) d x$, then $A$

$\pi$

Let $I=\int\limits_0^\pi x f(\sin x) d x$

$I=\int\limits_0^\pi(\pi-x) f(\sin (\pi-x)) d x$                $\left[∵ \int\limits_0^a f(x) d x=\int\limits_0^a f(a-x) d x\right]$

$\Rightarrow I=\pi \int\limits_0^\pi f(\sin x) d x-I$

$\Rightarrow I=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^\pi f(\sin x) d x$

$\Rightarrow I=\frac{\pi}{2} \times 2 \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x) d x$            $\left[\begin{array}{cc}∵ \int\limits_0^{2 a} f(x) d x=2 \int\limits_0^a f(x) d x \text { if, } f(2 a-x)=f(x)\end{array}\right]$

$\Rightarrow I=\pi \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x)$

∴  $\int\limits_0^\pi x f(\sin x) d x=A \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x) d x$

$\Rightarrow \pi \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x) d x=A \int\limits_0^{\pi / 2} f(\sin x) d x$

$\Rightarrow A=\pi$