$\int\left(1+x-x^{-1}\right) e^{x+x^{-1}} d x=$

$x e^{x+x^{-1}}+C$

Let

$I =\int\left(1+x-x^{-1}\right) e^{x+x^{-1}} d x$

$\Rightarrow I =\int e^{x+x^{-1}} d x+\int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+x^{-1}} d x$

$\Rightarrow I =\int e^{x+x^{-1}} d x+\int x e^{x+x^{-1}} d\left(x+x^{-1}\right)$

$\Rightarrow I=\int e^{x+x^{-1}} d x+x e^{x+x^{-1}}-\int e^{x+x^{-1}} d x$

$\Rightarrow I=x e^{x+x^{-1}}+C$