If the vectors $\vec a, \vec b$ and $\vec c$ form the sides BC, CA and AB respectively, of a ΔABC, then

$\vec a×\vec b =\vec b×\vec c =\vec c×\vec a$

In ΔABC, we have

$\vec{BC}+\vec{CA} =\vec{BA}$

$⇒\vec a+\vec b =-\vec c$

$⇒\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$

$⇒\vec a×(\vec a+\vec b+\vec c)=\vec a×\vec 0$

$⇒\vec a×\vec a+\vec a×\vec b+\vec a×\vec c=\vec 0$

$⇒\vec a×\vec b-\vec c×\vec a=\vec 0$

$⇒\vec a×\vec b=\vec c×\vec b$   ...(i)

Again,

$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$

$⇒\vec b×(\vec a+\vec b+\vec c)=\vec b×\vec 0$

$⇒\vec b×\vec a+\vec b×\vec b+\vec b×\vec c=\vec 0$

$⇒-(\vec a×\vec b)+\vec b×\vec c=\vec 0$

$⇒\vec a×\vec b=\vec b×\vec c$   ...(ii)

From (i) and (ii), we have $\vec a×\vec b =\vec b×\vec c =\vec c×\vec a$