For any real number $x$, the value of $\int\limits_0^x[x] d x$, is

$x[x]-\frac{1}{2}[x]([x]+1)$

Let $k$ be an integer such that $k \leq x<k+1$. Then,

$\int\limits_0^x[x] d x=\int\limits_0^k[x] d x+\int\limits_k^x[x] d x$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=\int\limits_0^1[x] d x+\int\limits_1^2[x] d x+...+\int\limits_{k-1}^k[x] d x+\int\limits_k^x[x] d x$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=\sum\limits_{r=1}^k \int\limits_{r-1}^r[x] d x+\int\limits_k^x[x] d x$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=\sum\limits_{r=1}^k \int\limits_{r-1}^r(r-1) d x+\int\limits_k^x k d x$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=\sum\limits_{r=1}^k(r-1)+k(x-k)$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=(1+2+...+k-1)+k(x-k)$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=\frac{k(k-1)}{2}+k x-k^2$

$\Rightarrow \int\limits_0^x[x] d x=k x-\frac{k(k+1)}{2}=[x] x-\frac{[x]([x]+1)}{2}$