Let O be the centre of a regular pentagon ABCDE and $\vec{OA}=\vec a$. Then $\vec{AB}+2\vec{BC}+3\vec{CD}+4\vec{DE}+5\vec{EA}$ equals.

$5\vec a$

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$

$\vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}$

$\vec{CD}=\vec{OD}-\vec{OC}$

$\vec{DE}=\vec{OE}-\vec{OD}$

$\vec{EA}=\vec{OA}-\vec{OE}$

So, $\vec{AB}+2\vec{BC}+3\vec{CD}+4\vec{DE}+5\vec{EA}$

$-\vec{OB}-\vec{OC}-\vec{OD}-\vec{OE}+4\vec{OA}=-(\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}+\vec{OE})+4\vec{OA}$

$=-(\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}+\vec{OE})+5\vec{OA}=-\vec O+5\vec{OA}=5\vec a$