If ABCDEF is a regular hexagon, then $\vec{AD}+\vec{EB}+\vec{FC}$ equals

$4\vec{AB}$

Let $\vec{AB} = \vec a$ and $\vec {BC} = \vec b$. Then,

$\vec{AO}=\vec{BC}=\vec b,\vec{OC}=\vec{FO}=\vec a$

In ΔAOB, we have

$\vec{AB}+ \vec{BO}=\vec{AO}$

$⇒\vec a+\vec{BO}=\vec b$   $[∵ \vec{AO}=\vec{BC}=b]$

$⇒\vec{BO}=\vec b-\vec a$

$⇒\vec{BE}=2\vec{BO}=2(\vec b-\vec a)$

$∴\vec{AD}+\vec{EB}+\vec{FC}=\vec{AD}-\vec{BE}+2\vec{OC}$

$⇒\vec{AD}+\vec{EB}+\vec{FC}=2\vec b-2(\vec b-\vec a)+2\vec a=4\vec a=4\vec{AB}$