If $I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$, then $I=$

$\frac{\pi}{8} \log _e 2$

We have,

$I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$                ....(i)

$\Rightarrow I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log \left\{1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right\}$                       [Using $\int\limits_0^a f(x)dx = \int\limits_0^a f(a-x)$]

$\Rightarrow I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) d x$

$\Rightarrow I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$          ....(ii)

Adding (i) and (ii), we get

$2 I=\int\limits_0^{\pi / 4} \log 2 d x=\frac{\pi}{4} \log _e 2 \Rightarrow I=\frac{\pi}{8} \log _e 2$