The value of the integral $\int\limits_{e^{-1}}^{e^2}\left|\frac{\log _e x}{x}\right| d x$, is

$\frac{5}{2}$

We have,

$I=\int\limits_{e^{-1}}^{e^2}\left|\frac{\log _e x}{x}\right| d x$

$\Rightarrow I=\int\limits_{1 / e}^{e^2} \frac{\left|\log _e x\right|}{x} d x$

$\Rightarrow I=\int\limits_{1 / e}^1 \frac{\left|\log _e x\right|}{x} d x+\int\limits_1^{e^2} \frac{\left|\log _e x\right|}{x} d x$

$\Rightarrow I=-\int\limits_{1 / e}^1 \frac{\log _e x}{x} d x+\int\limits_1^{e^2} \frac{\log _e x}{x} d x$

$\Rightarrow I=-\int\limits_{1 / e}^1 \log _e x d\left(\log _e x\right)+\int\limits_1^{e^2} \log _e x d\left(\log _e x\right)$

$\Rightarrow I=-\left[\frac{1}{2}\left(\log _e x\right)^2\right]_{1 / e}^1+\left[\frac{1}{2}\left(\log _e x\right)^2\right]_1^{e^2}$

$\Rightarrow I=-\left[\frac{1}{2} \times 0-\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{2} \times 4-0\right]=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$