If $I_n=\int\limits_1^e(\log x)^n d x$, then $I_n+n I_{n-1}$ is equal to
Answer & explanation
Correct answer: option 2
We have,
$I_n =\int\limits_1^e(\log x)^n 1 d x$
$\Rightarrow I_n =\left[x(\log x)^n\right]_1^e-\int\limits_1^e n(\log x)^{n-1} . \frac{1}{x} x d x$
$\Rightarrow I_n=e-n \int\limits_1^e(\log x)^{n-1} d x=e-n I_{n-1}$
$\Rightarrow I_n+n I_{n-1}=e$