Let $\vec a,\vec b$ and $\vec c$ be three vectors having magnitudes 1, 1 and 2 respectively. If $\vec a × (\vec a×\vec c) + \vec b = \vec 0$, then the acute angle between $\vec a$ and $\vec c$ is

$\frac{π}{6}$

We have, $|\vec a|=1,|\vec b|=1$ and $|\vec c|=2$

Also,

$\vec a × (\vec a×\vec c) + \vec b = \vec 0$

$⇒(\vec a. \vec c) \vec a-(\vec a. \vec a) \vec c +\vec b=\vec 0$

$⇒(\vec a. \vec c) \vec a-\vec c +\vec b=\vec 0$   $[∵\vec a. \vec a=|\vec a|^2=1]$

$⇒(\vec a. \vec c) \vec a-\vec c=-\vec b$

$⇒|(\vec a. \vec c) \vec a-\vec c|=|-\vec b|$

$⇒|(\vec a. \vec c) \vec a-\vec c|^2=|\vec b|^2$

$⇒|(\vec a. \vec c) \vec a|^2+|\vec c|^2-2\{(\vec a. \vec c)\vec a. \vec c\}=|\vec b|^2$

$⇒(\vec a. \vec c)^2|\vec a|^2+|\vec c|^2-2(\vec a. \vec c)(\vec a. \vec c)=|\vec b|^2$

$⇒(\vec a. \vec c)^2\{|\vec a|^2-2\}+|\vec c|^2=|\vec b|^2$

$⇒-(\vec a. \vec c)^2+4=1$

$⇒(\vec a. \vec c)^2=3$

$⇒\vec a. \vec c=±\sqrt{3}$

$⇒|\vec a||\vec c|\cos θ=\sqrt{3}$,

where θ is an acute angle between $\vec a$ and $\vec c$

$⇒\cos θ=\frac{\sqrt{3}}{2}⇒θ=π/6$