If $\vec a,\vec b,\vec c$ and $\vec a',\vec b',\vec c'$ form a reciprocal system of vectors, then $[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=$

$\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$

We have,

$[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=(\vec a'×\vec b').\vec c'$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=\{λ(\vec b×\vec c)×λ(\vec c×\vec a)\}.\vec c'$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\{(\vec b×\vec c)×(\vec c×\vec a)\}.\vec c'$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\{((\vec b×\vec c).\vec a)\vec c-((\vec b×\vec c)\vec c)\vec a\}.\vec c'$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec c-[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec c]\vec a\right\}.\vec c'$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec c-0\vec a\right\}.\vec c'$   $[∵[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec c]=0]$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a](\vec c..\vec c')\right\}$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]$   $[∵\vec c..\vec c'=1]$

$⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]^2}[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$