If $\vec a,\vec b,\vec c$ and $\vec a',\vec b',\vec c'$ form a reciprocal system of vectors, then $[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=$ |
$[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$ $\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$ $[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]^2$ $\frac{-1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$ |
$\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$ |
We have, $[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=(\vec a'×\vec b').\vec c'$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=\{λ(\vec b×\vec c)×λ(\vec c×\vec a)\}.\vec c'$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\{(\vec b×\vec c)×(\vec c×\vec a)\}.\vec c'$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\{((\vec b×\vec c).\vec a)\vec c-((\vec b×\vec c)\vec c)\vec a\}.\vec c'$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec c-[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec c]\vec a\right\}.\vec c'$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec c-0\vec a\right\}.\vec c'$ $[∵[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec c]=0]$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2\left\{[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a](\vec c..\vec c')\right\}$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=λ^2[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]$ $[∵\vec c..\vec c'=1]$ $⇒[\vec a'\,\,\vec b'\,\,\vec c']=\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]^2}[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$ |