$(\vec a.\hat i) (\vec a×\hat i)+(\vec a.\hat j)× (\vec a×\hat j)+(\vec a.\hat k) (\vec a×\hat k)$ is equal to

$\vec 0$

Let $\vec a = a_1\hat i + a_2\hat j+a_3\hat k$. Then,

$\vec a.\hat i=a_1, \vec a.\hat j = a_2, \vec a.\hat k=a_3$

$\vec a×\hat i=-a_2\hat k+a_3\hat j,\vec a×\hat j=a_1\hat k-a_3\hat i,\vec a×\hat k=-a_1\hat j+a_2\hat k$

$∴(\vec a.\hat i) (\vec a×\hat i)+(\vec a.\hat j)× (\vec a×\hat j)+(\vec a.\hat k) (\vec a×\hat k)$

$=a_1(-a_2\hat k+a_3\hat j)+a_2(a_1\hat k-a_3\hat i)+a_3(-a_1\hat j+a_2\hat k)=\vec 0$