ABCD is a parallelogram. $A_1$ and $B_1$ are the midpoints of side BC and CD respectively. If $\vec{AA_1}+\vec{AB_1}=λ\vec{AC}$, then λ is equal to:

3/2

Let $A(\vec a),\,B(\vec b),\,C(\vec c)$ and $D(\vec d)$ be the vertices of the parallelogram ABCD.

Using section formula,

$\vec{a_1}=\frac{\vec b+\vec c}{2}$ and $\vec{b_1}=\frac{\vec c+\vec d}{2}$

$\vec{AA_1}+\vec{AB_1}=λ\vec{AC}$ $⇒\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a+\frac{\vec c+\vec d}{2}-\vec a=λ(\vec c-\vec a)$

$⇒\vec b+\vec c+\vec c+\vec d-4\vec a=2λ(\vec c-\vec a)$

Using $\vec{AD}=\vec{BC}$ (Property of parallelogram)

$⇒\vec d=\vec a+\vec c-\vec b⇒\vec b+2\vec c+\vec a+\vec c-\vec b-4\vec a=2λ(\vec c-\vec a)$

$3(\vec c-\vec a)=2λ(\vec c-\vec a)$  $λ=\frac{3}{2}$

Another approach:

$\vec{AB_1}=\vec{AD}+\vec{DB_1}$ and $\vec{AA_1}=\vec{AB}+\vec{BA_1}$

$\vec{AA_1}+\vec{AB_1}=\{\vec{AB}+\vec{AD}\}+\vec{BA_1}+\vec{DB_1}=\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AB}$

$∵\vec{BA_1}=\frac{1}{2}\vec{AD},\,\vec{DB_1}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

$=\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AC}⇒λ=\frac{3}{2}$