If $\vec a×(\vec b×\vec c) = \vec b×(\vec c×\vec a)$ and $[\vec a\,\, \vec b\,\, \vec c]≠0$, $\vec a×(\vec b×\vec c)$ is equal to

$\vec 0$

We have,

$\vec a×(\vec b×\vec c) = \vec b×(\vec c×\vec a)$

$⇒(\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c=(\vec b.\vec a)\vec c-(\vec b.\vec c)\vec a$

$⇒(\vec b.\vec c)\vec a+(\vec a.\vec c)\vec b+\{-2(\vec a.\vec b)\}\vec c=\vec 0$

$⇒\vec b.\vec c=0,\vec a.\vec c=0$ and $\vec a.\vec b=0$   [$∵\vec a,\vec b,\vec c$ are non-coplanar]

$∴\vec a×(\vec b×\vec c) = (\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c=\vec 0$