If $a^2+b^2+c^2+216=12(a+b-2 c)$, then $\sqrt{a b-b c-c a}$ is:

$6 \sqrt{5}$

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a – b)² = a² + b² – 2ab

a² + b² + c² + 216 = 12(a + b – 2c)

a² + b² + c² + 216 = 12(a + b – 2c)

= a² – 12a + b² – 12b + c² + 24c + 216 = 0

= a² – 12a + 36 + b² – 12b + 36 + c² + 24c + 144 = 0

= (a – 6)² + (b – 6)² + (c + 12)² = 0

a = 6

b = 6

c = –12

$\sqrt{a b-b c-c a}$  =  $\sqrt{6 × 6 - 6 × -12 - (-12) × 6}$ 

$\sqrt{a b-b c-c a}$  = $\sqrt{180}$  = $6 \sqrt{5}$