If $A=\begin{bmatrix}3&-4\\1&-1\end{bmatrix}$ then find $tr.(A^{2012})$.

2

$A=\begin{bmatrix}3&-4\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&-4\\1&-2\end{bmatrix}=I+B$

Now, $B^2=\begin{bmatrix}2&-4\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-4\\1&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=O$

$⇒A^{2012}=(I+B)^{2012}$

$=I^{2012}+{^{2012}C}_1I^{2012}B+O+O+...$  $(∵B^2=B^3=B^4...O)$

$=I+2012B$

$=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+2012\begin{bmatrix}2&-4\\1&-2\end{bmatrix}$

∴ Trace of $A^{2012} = 2 + 2012 (2-2)$

$=2$