If $\sin (20+x)^{\circ}=\cos 60^{\circ}, 0 \leq(20+x) \leq 90$, then find the value of $2 \sin ^2(3 x+15)^{\circ}-{cosec}^2(2 x+10)^{\circ}$.

-3  

We are given :-

sin (20+x)º = cos60º

{ we know, Iff A + B = 90º then sinA = cosB }

So,  ( 20 + x )º + 60º = 90º

( 20 + x )º  = 30º

x  = 10º

Now,

2 sin² ( 3x + 15 )º  -  cosec² ( 2x+10 )º

= 2 sin² ( 30 + 15 )º  -  cosec² ( 20+10 )º

= 2 sin² 45º  -  cosec²30º

= 2 × \(\frac{1}{2}\) - 4

= -3