For any three vectors, $\vec a,\vec b,\vec c$ the value of $\begin{bmatrix}\vec a+\vec b&\vec b+\vec c&\vec c+\vec a\end{bmatrix}$, is

$2[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

Let $\vec α =\vec a+\vec b, \vec β =\vec b+\vec c$, and $\vec γ = \vec c + \vec a$.

Then,

$\vec α =\vec a+\vec b+0\vec c, \vec β=0\vec a+\vec b+\vec c$ and $\vec γ = \vec a+0\vec b+\vec c$

$[\vec α\,\,\vec β\,\,\vec γ]=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

$⇒[\vec α\,\,\vec β\,\,\vec γ]=2[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$