If $\omega $ is an imaginary cube root of unity, then the value of $\begin{vmatrix} 1+ ω & ω^2 & -ω\\1+ω^2 & ω & -ω^2\\ω^2+ω& ω & -ω^2\end{vmatrix}$ is equal to

$-3ω^2$

The correct answer is option (4) : $-3ω^2$

Using $1+ ω+ω^2 = 0, $ we get

$\begin{vmatrix} 1+ ω & ω^2 & -ω\\1+ω^2 & ω & -ω^2\\ω^2+ω& ω & -ω^2\end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} 1+ ω+ω^2 & ω^2 & -ω\\1+ω^2+ω & ω & -ω^2\\ω^2+2ω& ω & -ω^2\end{vmatrix}$             [Applying $C_1→C_1+C+2$]

$=\begin{vmatrix} 0 & ω^2 & -ω\\0 & ω & -ω^2\\ω-1 & ω & -ω^2\end{vmatrix}$

$= (ω-1) \begin{vmatrix}ω^2&-ω\\ω&-ω^2\end{vmatrix}$

$= ( ω -1 ) ( - ω^4 + ω^2 ) = ( ω -1) ( - ω + ω^2)$

$= - ω^2 + ω^3 + ω- ω^2 = -ω^2 + (1+ω) -ω^2 = -3ω^2$