If $k \in N$ and $I_k=\int\limits_{-2 k \pi}^{2 k \pi}|\sin x|[\sin x] d x$, where [.] denotes the greatest integer function, then $\sum\limits_{k=1}^{100} I_k$ equal to 

-20200

We have,

$I_k =\int\limits_{-2 k \pi}^{2 k \pi}|\sin x|[\sin x] d x$

$\Rightarrow I_k =\int\limits_0^{2 k \pi}\{|\sin x|[\sin x]+|\sin (-x)|+[\sin -(x)]\} d x$      $\left[∵ \int\limits_{-a}^a f(x) d x=\int\limits_0^a\{f(x)+f(-x)\} d x\right]$

$\Rightarrow I_k=\int\limits_0^{2 k \pi}|\sin x|\{[\sin x]+[\sin (-x)]\} d x$

$\Rightarrow I_k=-\int\limits_0^{2 k \pi}|\sin x| d x$           $[∵ [-x]=-[x]-1, \text { if } x \notin Z]$

$\Rightarrow I_k=-2 k \int\limits_0^\pi|\sin x| d x$             $\left[\begin{array}{l}∵ \int\limits_0^{n T} f(x) d x=n \int\limits_0^n f(x) d x \text { if } \\ f(x) \text { is periodic with period } T\end{array}\right]$

$\Rightarrow I_k=-2 k \int\limits_0^\pi \sin x d x=-2 k \times 2=-4 k$

∴   $\sum\limits_{k=1}^{100} I_k=-4 k=-4 \times 5050=-20200$