The value of determinant $\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$ is :

0

$P = \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$

so $c_1 \rightarrow c_1+c_2+c_3$

$P=\left|\begin{array}{lll}
a-b+b-c+c-a & b-c & c-a \\
b-c+c-a+a-b & c-a & a-b \\
c-a+a-b+b-c & a-b & b-c
\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}0 & b-c & c-a \\ 0 & c-a & a-b \\ 0 & a-b & b-c\end{array}\right|=0$

$P=0$