For any vector a, the value of $\hat i×(\vec a×\hat i)+\hat j× (\vec a×\hat j)+\hat k× (\vec a×\hat k)$, is

$2\vec a$

Let $\vec a=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k$. Then,

$\hat i×(\vec a×\hat i)+\hat j× (\vec a×\hat j)+\hat k× (\vec a×\hat k)$

$=\{(\hat i.\hat i) \vec a -(\hat i. \vec a)\hat i\}+\{(\hat j. \hat j) \vec a-(\hat j. \vec a) \hat j\}+\{(\hat k.\hat k) \vec a -(\hat k.\vec a)\hat k\}$

$=\{\vec a-(\hat i.\vec a)\hat i\}+\{\vec a-(\hat j.\vec a)\hat j\}+\{\vec a-(\hat k.\vec a)\hat k\}$

$=3\vec a-(\hat i.\vec a)\hat i-(\hat j.\vec a)\hat j-(\hat k.\vec a)\hat k$

$=3\vec a-(a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k)$   $[∵\hat i.\vec a=a_1,\hat j.\vec a=a_2\,and\,\hat k.\vec a=a_3]$

$=3\vec a-\vec a=2\vec a$