For any vector a, the value of $\hat i×(\vec a×\hat i)+\hat j× (\vec a×\hat j)+\hat k× (\vec a×\hat k)$, is
Answer & explanation
Correct answer: option 2
Let $\vec a=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k$. Then,
$\hat i×(\vec a×\hat i)+\hat j× (\vec a×\hat j)+\hat k× (\vec a×\hat k)$
$=\{(\hat i.\hat i) \vec a -(\hat i. \vec a)\hat i\}+\{(\hat j. \hat j) \vec a-(\hat j. \vec a) \hat j\}+\{(\hat k.\hat k) \vec a -(\hat k.\vec a)\hat k\}$
$=\{\vec a-(\hat i.\vec a)\hat i\}+\{\vec a-(\hat j.\vec a)\hat j\}+\{\vec a-(\hat k.\vec a)\hat k\}$
$=3\vec a-(\hat i.\vec a)\hat i-(\hat j.\vec a)\hat j-(\hat k.\vec a)\hat k$
$=3\vec a-(a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k)$ $[∵\hat i.\vec a=a_1,\hat j.\vec a=a_2\,and\,\hat k.\vec a=a_3]$
$=3\vec a-\vec a=2\vec a$