If $\vec a × \vec b = \vec b × \vec c≠ 0$, then for any scalar λ,

$\vec a-\vec b=λ(\vec c-\vec b)$ $\vec b + \vec c =λ\vec a$ $\vec a + \vec b =λ\vec c$ $\vec a + \vec c =λ\vec b$

$\vec a + \vec c =λ\vec b$

We have, $\vec a × \vec b = \vec b × \vec c$ $⇒\vec a × \vec b =-(\vec c× \vec b)$ $⇒\vec a × \vec b +\vec c× \vec b=\vec 0$ $⇒(\vec a+\vec c)× \vec b =\vec 0⇒\vec a+\vec c=λ\vec b$