If vec a,vec b,vec c are three vectors, then […] =

We have,

$\begin{bmatrix}\vec a×\vec b&\vec b×\vec c&\vec c×\vec a\end{bmatrix}$

$=\{(\vec a×\vec b)×(\vec b×\vec c)\}.(\vec c×\vec a)$

$=\{\vec d×(\vec b×\vec c)\}.(\vec c×\vec a)$, where $\vec d=\vec a×\vec b$

$=\{(\vec d.\vec c)\vec b-(\vec d.\vec b)\vec c\}.(\vec c×\vec a)$

$=\{((\vec a×\vec b).\vec c)-((\vec a×\vec b).\vec b)\vec c\}.(\vec c×\vec a)$

$=\{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec b-[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec b]\vec c\}.(\vec c×\vec a)$

$=\{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec b-(0)\vec c\}.(\vec c×\vec a)$   $[∵[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=0]$

$=\left\{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec b\right\}.(\vec c×\vec a)$

$=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\left\{\vec b.(\vec c×\vec a)\right\}$

$=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c][\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]^2$   $[∵[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]]$