If $f(x)$ is differentiable function and $f(x)=x^2+\int\limits_0^x e^{-t}(x-t) d t$, then $f(-1)$ equals to

$\frac{2}{3}$

We have,

$f(x)=x^2+\int\limits_0^x e^{-t}(x-t) d t$           ......(i)

$\Rightarrow f(x)=x^2+\int\limits_0^x e^{-(x-t)} f(x-(x-t)) d t$

$\Rightarrow f(x)=x^2+\int\limits_0^x e^{-x} e^t f(t) d t$

$\Rightarrow f(x)=x^2+e^{-x} \int\limits_0^x e^t f(t) d t$

$\Rightarrow f'(x)=2 x+e^{-x}\left\{e^x f(x)\right\}-e^{-x} \int\limits_0^x e^t f(t) d t$

$\Rightarrow f'(x)=2 x+f(x)-\int\limits_0^x e^{-(x-t)} f(t) d t$

$\Rightarrow f'(x)=2 x+f(x)-\int\limits_0^x e^{-(x-(x-t))} f(x-t) d t$

$\Rightarrow f'(x)=2 x+f(x)-\int\limits_0^x e^{-t} f(x-t) d t$

$\Rightarrow f'(x)=2 x+f(x)+x^2-f(x)$               [Using (i)] 

$\Rightarrow f'(x)=2 x+x^2$

$\Rightarrow f(x)=x^2+\frac{x^3}{3}+C$               ....(ii)

From (i), we obtain $f(0)=0$.

Puting $x=0$, in (ii), we obtain $C=0$

∴   $f(x)=x^2+\frac{x^3}{3}$

$\Rightarrow f(-1)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$