Given $|\vec a|=|\vec b|=1$ and $|\vec a+\vec b=\sqrt{3}$. If $\vec c$ be a vector such that $\vec c-\vec a-2\vec b=3(\vec a×\vec b)$, then $\vec c. \vec b$ is equal to

$\frac{5}{2}$

We have,

$|\vec a+\vec b|=\sqrt{3}$

$⇒|\vec a+\vec b|^2=3$

$⇒|\vec a|^2+|\vec b|^2+2(\vec a.\vec b)=3$

$⇒1+1+2(\vec a.\vec b) = 3 = \vec a.\vec b=\frac{1}{2}$   ...(i)

Now,

$\vec c-\vec a-2\vec b=3(\vec a×\vec b)$

$⇒(\vec c-\vec a-2\vec b).\vec b = 3 \{(\vec a×\vec b).\vec b\}$

$⇒\vec c.\vec b-\vec a.\vec b-2(\vec b. \vec b)=0$   $∵[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec b]=0$

$⇒\vec c.\vec b-\frac{1}{2}-2×1=0$   [Using (i)]

$⇒\vec c.\vec b=\frac{5}{2}$