If $\vec a=-\hat i+\hat j+\hat k,\vec b=2\hat i+0\hat j+\hat k$, then a vector $\vec X$ satisfying the conditions:

(i) that it is coplanar with $\vec a$ and $\vec b$

(ii) that is perpendicular to $\vec b$,

(iii) that $\vec a.\vec X=7$, is

$\frac{1}{2}(-3\hat i+5\hat j+6\hat k)$

Since $\vec X$ is in the plane of $\vec a$ and $\vec b$ perpendicular to $\vec b$.

$∴\vec X=λ\{\vec b×(\vec a×\vec b)\}$

$⇒\vec X=λ[(\vec b.\vec b)\vec a-(\vec b.\vec a)\vec b]$

$⇒\vec X=λ[5(-\hat i+\hat j+\hat k)-(-1)(2\hat i+0\hat j+\hat k)]$

$⇒\vec X=λ[-5\hat i +5\hat j +5\hat k+2\hat i+0\hat j +\hat k]$

$⇒\vec X=λ[-3\hat i+5\hat j+6\hat k]$

Now,

$\vec a.\vec X=7$

$⇒(-\hat i+\hat j+\hat k).λ(-3\hat i+5\hat j+6\hat k)=7$

$⇒λ(3+5+6)=7⇒λ=\frac{1}{2}$

Hence, $\vec X=\frac{1}{2}(-3\hat i+5\hat j+6\hat k)$