If $\vec a, \vec b$ are non-zero vectors, then $\left((\vec a×\vec b)×\vec a\right). \left((\vec b×\vec a) ×\vec b\right)$ equals

$(\vec a.\vec b)|\vec a×\vec b|^2$

$\left((\vec a×\vec b)×\vec a\right). \left((\vec b×\vec a) ×\vec b\right)$

$=\left(\vec a×(\vec a×\vec b)\right). \left(\vec b×(\vec b×\vec a)\right)$

$=\left((\vec a.\vec b)\vec a-(\vec a.\vec a)\vec b\right).\left((\vec b.\vec a)\vec b-(\vec b.\vec b)\vec a\right)$

$=(\vec a.\vec b)^3-(\vec a.\vec b)(\vec b.\vec b)(\vec a.\vec a)-(\vec a.\vec a)(\vec b.\vec a)(\vec b.\vec b)+(\vec a.\vec a)(\vec b.\vec b)(\vec b.\vec a)$

$=(\vec a.\vec b)^3-|\vec a|^2|\vec b|^2(\vec a.\vec b)-|\vec a|^2|\vec b|^2(\vec a.\vec b)+|\vec a|^2|\vec b|^2(\vec a.\vec b)$

$=(\vec a.\vec b)\left((\vec a.\vec b)^2-|\vec a|^2|\vec b|^2\right)$

$=(\vec a.\vec b)|\vec a×\vec b|$