If $\int\limits_0^x f(t) d t=x+\int\limits_x^1 t f(t) d t$, then the value of $f(1)$, is
Answer & explanation
Correct answer: option 1
We have,
$\int\limits_0^x f(t) d t=x+\int\limits_x^1 t f(t) d t$
$\Rightarrow \int\limits_0^x f(t) d t=x-\int\limits_1^x t f(t) d t$
$\Rightarrow \int\limits_0^x f(t) d t+\int\limits_1^x t f(t) d t=x$
Differentiating w.r. to $x$, we get
$f(x)+x f(x)=1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x+1} \Rightarrow f(1)=\frac{1}{2}$