If $\vec a,\vec b,\vec c$ are non-coplanar non-zero vectors, then $(\vec a×\vec b) × (\vec a×\vec c) + (\vec b ×\vec c) × (\vec b×\vec a) + (\vec c×\vec a)+(\vec c×\vec a) × (\vec c×\vec b)$ is equal to

$[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c](\vec a+\vec b+\vec c)$

We have,

$(\vec a×\vec b) × (\vec a×\vec c)=\{(\vec a×\vec b).\vec c\}\vec a-\{(\vec a×\vec b).\vec a\}\vec c$

$⇒(\vec a×\vec b)× (\vec a×\vec c)=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec a-[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec a]\vec c=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec a$

Similarly, we have

$(\vec b ×\vec c) × (\vec b×\vec a)=[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec b$ and $(\vec c×\vec a) × (\vec c×\vec b)=[\vec c\,\,\vec a\,\,\vec b]\vec c$

So, the given expression is equal to $[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c](\vec a+\vec b+\vec c)$.