Let $\vec a,\vec  b,\vec  c$ be three vectors such that $\vec a⊥(\vec b+\vec c), \vec b⊥(\vec c+ \vec a)$ and $\vec c⊥ (\vec a+\vec b)$. If $|\vec a|=1,|\vec b|=2, |\vec c|=3$, then $|\vec a + \vec b + \vec c|$, is

$\sqrt{14}$

We have,

$\vec a ⊥ (\vec b+\vec c), \vec b ⊥ (\vec c + \vec a)$ and $\vec c ⊥ (\vec a + \vec b)$

$⇒\vec a.\vec b+\vec a.\vec c=0,\vec b.\vec c+\vec b.\vec a=0, \vec c. \vec a + \vec c. \vec b = 0$

$⇒\vec a.\vec b=\vec b.\vec c=\vec c. \vec a= 0$

$∴|\vec a+\vec b+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec c. \vec a)$

$⇒|\vec a+\vec b+\vec c|^2=1+4+9=14$

$⇒|\vec a+\vec b+\vec c|=\sqrt{14}$