If A, B, C, D are any four points in space, then $|\vec{AB}×\vec{CD}+\vec{BC}×\vec{AD}+\vec{CA}×\vec{BD}|$ where $Δ=Ar(ABC)$ is equal to:

4Δ

$|\vec{AB}×\vec{CD}+\vec{BC}×\vec{AD}+\vec{CA}×\vec{BD}|=|(\vec b-\vec a)×(\vec d-\vec c)+(\vec c-\vec b)×(\vec d-\vec a)+(\vec a-\vec c)×(\vec d-\vec b)|$

$=|\vec b×\vec d+\vec d×\vec a+\vec c×\vec b+\vec a×\vec c+\vec c×\vec d+\vec d×\vec b+\vec a×\vec c+\vec b×\vec a+\vec a×\vec d+\vec d×\vec c+\vec b×\vec a+\vec c×\vec b|$

$⇒2|\vec b×\vec a+\vec c×\vec b+\vec a×\vec c|=4$ area of ΔABC